Class 10 Maths Chapter 1: वास्तविक संख्याएँ
सम्पूर्ण Solutions + Easy Tips + Interactive Practice
📋 Chapter Overview
📚 मुख्य Concepts (आसान भाषा में)
1. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका (Euclid’s Division Lemma)
सूत्र: a = bq + r, जहाँ 0 ≤ r < b
मतलब: जब कोई संख्या a को b से divide करते हैं, तो quotient q और remainder r मिलता है। सबसे important बात – remainder हमेशा divisor से छोटा होगा।
याद रखने का तरीका: “Dividend = Divisor × Quotient + Remainder” – बस यही formula है।
2. HCF और LCM का Relation
सूत्र: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या
मतलब: किन्हीं दो संख्याओं का HCF और LCM निकालो, दोनों का product लो – जो आएगा वो उन दोनों numbers का product होगा।
याद रखने का तरीका: “HCF × LCM = Product of Numbers” – रट लो, हर सवाल में काम आएगा।
3. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)
मतलब: हर composite number को prime factors के product के रूप में लिखा जा सकता है – और यह factorisation unique होती है।
याद रखने का तरीका: “हर composite number = Prime Factors का unique product”
4. अपरिमेय संख्या सिद्ध करना (Proving Irrationality)
Method: Contradiction (विरोधाभास) – पहले assume करो कि संख्या rational है, फिर prove करो कि यह गलत है।
Steps याद रखो: Assume Rational → Square both sides → Find common factor → Contradiction → Conclusion: Irrational
याद रखने का तरीका: “Assume → Contradict → Conclude Irrational”
5. सांत और असांत दशमलव (Terminating & Non-Terminating)
Rule: अगर denominator (सरलतम रूप में) का prime factorisation सिर्फ 2ⁿ × 5ᵐ है, तो decimal सांत (terminating) होगा। वरना असांत होगा।
याद रखने का तरीका: “सिर्फ 2 और 5 = सांत | कुछ और आया = असांत”
💡 Advanced & Simple Tips (याद रखने के लिए)
🎯 Tip 1: HCF/LCM निकालने की Shortcut Trick
अगर दो numbers का HCF दिया है और LCM निकालना है, तो formula लगाओ – LCM = (a × b) ÷ HCF. बस इतना ही!
🎯 Tip 2: Euclid Algorithm में सिर्फ भाग देना है
बड़ी संख्या ÷ छोटी संख्या → भागफल और शेषफल लिखो → अब छोटी संख्या ÷ शेषफल → यही process repeat करो जब तक remainder 0 न आ जाए। जब remainder 0 आए, तो उस step का divisor ही HCF है।
🎯 Tip 3: √p अपरिमेय साबित करने की Master Trick
2, 3, 5, 7 – इन सबका square root irrational होता है। अगर √5 irrational है, तो 3 + 2√5 भी irrational होगा (क्योंकि rational + irrational = irrational). इस logic से 3 marks का सवाल 1 minute में solve होगा।
🎯 Tip 4: Decimal Expansion Check करने की Trick
Denominator को prime factorise करो। अगर सिर्फ 2 और 5 के powers दिखें – terminating. अगर कोई और prime number (3, 7, 11, 13) दिखे – non-terminating repeating.
🎯 Tip 5: Board Exam में Marks बचाने वाली बात
Irrationality prove करते समय “a और b co-prime हैं” लिखना कभी मत भूलना। और अंत में “यह हमारी assumption का contradiction है, अतः संख्या irrational है” – यह line जरूर लिखना।
📝 NCERT Exercise 1.1 – Solutions
Q1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके HCF ज्ञात कीजिए: 135 और 225
Solution:
चूँकि 225 > 135, हम 225 और 135 पर विभाजन प्रमेयिका लगाते हैं:
225 = 135 × 1 + 90
135 = 90 × 1 + 45
90 = 45 × 2 + 0
चूँकि शेषफल 0 हो गया, इसलिए HCF = 45
Q2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से 196 और 38220 का HCF
Solution:
38220 = 196 × 195 + 0
चूँकि शेषफल 0 है, HCF = 196
Q3. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म से 867 और 255 का HCF
Solution:
867 = 255 × 3 + 102
255 = 102 × 2 + 51
102 = 51 × 2 + 0
HCF = 51
Q4. सिद्ध कीजिए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1, 6q + 3 या 6q + 5 के रूप का होता है।
Solution:
माना a कोई धनात्मक पूर्णांक है, b = 6. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से:
a = 6q + r, जहाँ 0 ≤ r < 6
अतः r = 0, 1, 2, 3, 4, 5
इसलिए a = 6q, 6q+1, 6q+2, 6q+3, 6q+4, 6q+5
6q, 6q+2, 6q+4 सम हैं। 6q+1, 6q+3, 6q+5 विषम हैं।
अतः कोई भी विषम पूर्णांक 6q+1 या 6q+3 या 6q+5 के रूप का होता है।
Q5. सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।
Solution:
माना a = 3q + r, जहाँ r = 0, 1, 2
a = 3q → a² = 9q² = 3(3q²) = 3m
a = 3q+1 → a² = 9q² + 6q + 1 = 3(3q² + 2q) + 1 = 3m + 1
a = 3q+2 → a² = 9q² + 12q + 4 = 9q² + 12q + 3 + 1 = 3(3q² + 4q + 1) + 1 = 3m + 1
अतः किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग 3m या 3m+1 के रूप का होता है।
Q6. सिद्ध कीजिए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।
Solution:
a = 3q, 3q+1, 3q+2 लेते हैं।
a = 3q → a³ = 27q³ = 9(3q³) = 9m
a = 3q+1 → a³ = 27q³ + 27q² + 9q + 1 = 9(3q³ + 3q² + q) + 1 = 9m + 1
a = 3q+2 → a³ = 27q³ + 54q² + 36q + 8 = 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8 = 9m + 8
अतः घन 9m, 9m+1 या 9m+8 के रूप का होता है।
Q7. 616 और 32 सदस्यों वाली सेना की टुकड़ी को समान संख्या में columns में मार्च करना है। अधिकतम columns?
Solution:
Maximum columns = HCF(616, 32)
616 = 32 × 19 + 8
32 = 8 × 4 + 0
HCF = 8
अतः अधिकतम 8 columns में मार्च कर सकते हैं।
📝 NCERT Exercise 1.2 – Solutions
Q1. सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।
Solution:
माना √5 परिमेय है। तो √5 = a/b, जहाँ a, b सह-अभाज्य हैं।
वर्ग करने पर: 5 = a²/b² → a² = 5b²
a², 5 से विभाज्य → a भी 5 से विभाज्य → a = 5k
(5k)² = 5b² → 25k² = 5b² → b² = 5k²
b भी 5 से विभाज्य।
a और b दोनों 5 से विभाज्य – यह सह-अभाज्य होने का contradiction है।
अतः √5 अपरिमेय है।
Q2. सिद्ध कीजिए कि 3 + 2√5 अपरिमेय है।
Solution:
माना 3 + 2√5 परिमेय है। तो 3 + 2√5 = a/b
2√5 = a/b – 3 = (a – 3b)/b
√5 = (a – 3b)/2b
दायाँ पक्ष परिमेय है, लेकिन √5 अपरिमेय है – contradiction.
अतः 3 + 2√5 अपरिमेय है।
Q3. सिद्ध कीजिए कि 1/√2, 7√5 और 6+√2 अपरिमेय हैं।
Solution:
(i) 1/√2: माना परिमेय है। तो 1/√2 = a/b → √2 = b/a. परिमेय का reciprocal भी परिमेय, पर √2 अपरिमेय – contradiction.
(ii) 7√5: माना परिमेय है। 7√5 = a/b → √5 = a/7b. परिमेय, पर √5 अपरिमेय – contradiction.
(iii) 6+√2: माना परिमेय है। 6+√2 = a/b → √2 = a/b – 6. परिमेय, पर √2 अपरिमेय – contradiction.
अतः तीनों अपरिमेय हैं।
🎯 Practice Quiz – Option select करें और Answer देखें
शेषफल हमेशा divisor से छोटा और non-negative होता है। [citation:2]
दो संख्याओं का HCF × LCM उन दोनों संख्याओं के product के बराबर होता है। [citation:4]
225 = 135×1 + 90, 135 = 90×1 + 45, 90 = 45×2 + 0 → HCF = 45. [citation:2]
पहले assume करते हैं कि √5 परिमेय है, फिर contradiction prove करते हैं। [citation:16]
867 = 255×3 + 102, 255 = 102×2 + 51, 102 = 51×2 + 0 → HCF = 51. [citation:2]
किसी भी positive integer का square 3m या 3m+1 के form का होता है। [citation:11]
किसी भी positive integer का cube 9m, 9m+1 या 9m+8 के form का होता है। [citation:2]
HCF(616, 32) = 8. इसलिए maximum 8 columns. [citation:11]
❓ अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
NCERT Class 10 Maths Chapter 1 में 2 exercises हैं – Exercise 1.1 (7 questions) और Exercise 1.2 (3 questions). [citation:7]
दो numbers के लिए: HCF × LCM = पहली संख्या × दूसरी संख्या. [citation:4]
जब p एक prime number हो, तो √p हमेशा irrational होता है। जैसे √2, √3, √5, √7. [citation:24]
आमतौर पर 5-6 marks के questions आते हैं – 2-3 marks के proof questions और 1-2 marks के MCQ. [citation:7]
सबसे common mistake – “a और b co-prime हैं” लिखना भूल जाना। Board exam में इस step के marks कटते हैं। [citation:7]
Denominator को prime factorise करो। अगर सिर्फ 2ⁿ × 5ᵐ है, तो terminating. अगर कोई और prime (3, 7, 11) है, तो non-terminating repeating. [citation:14]
📝 निष्कर्ष
Class 10 Maths Chapter 1 “वास्तविक संख्याएँ” Board Exam के लिए बहुत important है। Euclid Algorithm, HCF-LCM, और Irrationality Proofs – ये तीन topics हर साल आते हैं। ऊपर दिए गए Tips को follow करो और Practice Quiz को solve करो।
⚠️ अस्वीकरण: यह जानकारी केवल शैक्षणिक उद्देश्य के लिए है। कृपया अपनी NCERT textbook से verify करें। nadmaniyacareer.in किसी भी शैक्षणिक संस्थान से संबद्ध नहीं है।
